y⁴ - 4y + 3 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সঠিক উত্তর: (y - 1)²(y² + 2y + 3)

ব্যাখ্যা: ধরি, f(y) = y⁴ - 4y + 3
এখন, f(1) = (1)⁴ - 4.1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0
∴ (y - 1), y⁴ - 4y + 3 এর একটি উৎপাদক।
এখন, y⁴ - 4y + 3
= y⁴ - y³ + y³ - y² + y² - y - 3y + 3
= y³(y - 1) + y²(y - 1) + y(y - 1) - 3(y - 1)
= (y - 1)(y³ + y² + y - 3) .......... (1)
আবার, ধরি f'(y) = y³ + y² + y - 3
∴ f'(1) = 1³ + 1² + 1 - 3 = 3 - 3 = 0
∴ (y - 1), y³ + y² + y - 3 এর একটি উৎপাদক।
এখন, y³ + y² + y - 3
= y³ - y² + 2y² - 2y + 3y - 3
= y²(y - 1) + 2y(y - 1) + 3(y - 1)
= (y - 1)(y² + 2y + 3) .......... (2)
সমীকরণ (1) ও (2) হতে পাই,
y⁴ - 4y + 3 = (y - 1)²(y² + 2y + 3)
অতএব, প্রশ্নটির সঠিক উত্তর (গ)।