একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি মধ্যমার দৈর্ঘ্য 3 সে.মি. হলে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সঠিক উত্তর: 2√3

ব্যাখ্যা: অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য হতে ত্রিভুজের বাহু ও মধ্যমার সম্পর্ক হচ্ছে:
3(a² + b² + c²) = 4(d² + e² + f²)
এখানে a, b ও c হচ্ছে ত্রিভুজের তিনটি বাহু এবং d, e ও f হচ্ছে ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা। কিন্তু সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি মধ্যমা পরস্পর সমান এবং বাহুগুলো পরস্পর সমান।
অর্থাৎ, a = b = c এবং d = e = f = 3 সে.মি.
∴ 3(a² + a² + a²) = 4(d² + d² + d²)
বা, 3 × 3a² = 4 × 3d²
বা, 3a² = 4d²
বা, a² = 4/3 d²
বা, a² = 4/3 × 3²
বা, a² = 12
বা, a = √12
বা, a = √(4 × 3)
∴ a = 2√3 সে.মি.
প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 2√3 সে.মি.।